수포자 양성

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자료를 만들다가 나쁜 생각이 들어서 (…) 중1 학생에게 다음과 같은 문제를 선물하기로 했다.

$문제 1$

군(group)에 대한 문제이다. 현재 교육과정에서는 이항연산, 항등원, 역원의 내용이 전부 빠져있음에도 출제했다…

(1)번 에서는 더한 후 나머지를 취하는 연산 $+_p$ 을 주고 집합 $\mathbb{Z}_p$ 가 군이 됨을 보여야 한다.

(2)번은 cyclic group 에 관한 내용이다. $0\neq a\in \mathbb{Z}_p$ 만을 이용해서 $\mathbb{Z}_p$ 를 생성할 수 있음을 보여야 한다.

$문제 2$

전에 $\sqrt{2}$ 가 무리수인 것에 대해서 얘기한 적이 있었는데, 내가 $\sqrt{2}$ 의 존재성에 대해 고민해 보라고 한 적이 있다. 물론 실수의 완비성이 필요하긴 한데 $\sup$ 가 대충 존재한다고 하고…

$문제 3$

내적공간(Inner Product Space)에 관한 문제이다. (A), (B), (D) 는 $\mathbb{R}^n$-공간에서 (C) 로 정의된 dot product 가 만족해야 할 조건들이다. (D) 를 이용해 코시-슈바르츠 부등식을 증명하는 것이 핵심이다.

이런 문제를 갖다주면 흥미롭게 풀긴 하지만,

혹시나 나 때문에 수학 포기하지 않길 바란다 …